2.3 Mehrere Kräfte

Tauziehen „Zwei gegen eine“ – ein ungleicher Wettkampf! Oder? Unter welchen Umständen ist dies als „ungleich“ zu bezeichnen? Wann nicht?

Die Situation soll schematisch in einem Versuch nachgestellt werden. Bezeichnungen:

Material:

2 Kraftmesser für F₁, F₂; Messbereich: __________
1 Kraftmesser für F₃;       Messbereich: __________
1 vorbereitete Schnur gemäß Skizze
1 Winkelskala

Durchführung:

Befestigen Sie die Kraftmesser an der Schnur.
Stellen Sie mit Hilfe der Winkelskala den Winkel α zwischen den Richtungen von F₁ und F₂ auf die Werte gemäß folgender Tabelle ein.
Ziehen Sie jeweils so, dass der Kraftmesser für F₃ bis zu seinem Maximalwert belastet ist.
Protokollieren Sie F₁, F₂ und F₃.

Auswertung:

Berechnen Sie jeweils die Summe der Kraftbeträge F₁ + F₂.
Vergleichen Sie die Summe mit F_R. Was fällt dabei auf?
Berechnen Sie den Quotienten F₁ / F₃.
Stellen Sie den Quotienten graphisch in Abhängigkeit von α/ 2 dar. Welche Information kann man dieser Graphik entnehmen?

Zusammensetzen von Kräften

Eine dem Tauziehen entsprechende Situation kann unter Verwendung der Gewichtskraft eines Körpers aufgebaut werden:

Der Punkt P ist im Kräftegleichgewicht. Die Kräftehaltendas Gleichgewicht. Das bedeutet, daszusammen so wirken wie eine Kraft.

Eine einzelne Kraft, die das gleiche bewirkt wie zwei Kräftezusammen, nennt man die Resultierendeder Kräfte.

Diese Begriffsbildung ist nicht auf den bisher betrachteten Fall zweier Kräfte mit gleichem Betrag beschränkt. Allgemein gilt:

Zwei Kräfte, die denselben Angriffspunkt haben, können durch die Resultierendeder beiden Kräfte ersetzt werden.  Um die Resultierende zu bestimmen, zeichnet man das Kräfteparallelogramm mit den Seiten. Die Diagonale, die im Angriffspunkt vonbeginnt, entspricht dem Kraftpfeil von. Beachte: Im Allgemeinen ist der Betrag FR nicht gleich der Summe der Beträge F1 und F2. Nur für a = 0° gilt FR = F1 + F2. Sonst müssen Kräfte in der beschriebenen Weise graphisch addiert werden.

Mit dem folgenden Applet lassen sich Kräfteparallelogramme erzeugen.

Klicken Sie an eine beliebige Stelle im Zeichenfenster, um den Angriffspunkt der Kräfte zu markieren.
Klicken Sie auf zwei weitere Stellen, um die Endpunkte der Kraftvektoren zu markieren.

Es wird dann das Kräfteparallelogramm gezeichnet. Im rechten Teil sind die Beträge der Kräfte, der Resultierenden sowie der Winkel zwischen den Kräften abzulesen.

Klicken Sie in einen der Markierungspunkte und halten Sie die linke Maustaste gedrückt. Jetzt können Sie diesen Punkt im Zeichenfenster ziehen. Das Kräfteparallelogramm wird sofort angepasst.
Ein Klick auf die Schaltfläche "clear" löscht das Kräfteparallelogramm.

Übungen:

1. In der Situation „Tauziehen 2 gegen 1“ sei F₁ = F₂ = 280 N und a = 120°.
    Wie groß muss F₃ sein, damit Kräftegleichgewicht herrscht?

2. Zwei Schlepper ziehen ein Seeschiff. Die Zugkräfte sind F₁ = 200 kN und F₂ = 160 kN. Sie bilden mit ihrer Resultierenden die jeweiligen Winkel a₁ = 20°, a₂ = 25°. Wie groß ist die Resultierende F_R?

3. Gegeben sind die zwei Kräfte F₁ = 5 N und F₂ = 3 N. Bestimmen Sie jeweils die Resultierende, wenn der Winkel zwischen den Kräften 45° (90° ; 135°) beträgt.

Zerlegung in Komponenten

Oft tritt das umgekehrte Problem auf: Eine Kraftsoll durch zwei Kräfteersetzt werden, die zusammen die gleiche Wirkung wiehaben sollen. Das heißt: Die gegebene Kraftsoll die Resultierende von zwei Kräftensein. Die Kräftebezeichnet man als Komponenten von.

Beispiel: Straßenlaterne Zwischen zwei Häusern hängt eine Straßenlaterne; ihre Gewichtskraft beträgt 80 N. Der Winkel zwischen den Seilstücken beträgt 155°. Mit welcher Kraft werden die Seilstücke gespannt?

Die Kraft, die von den Seilstücken aufgebracht werden muss, hält der Gewichtskraft der Laterne das Gleichgewicht:

.

Diese Kraft ist in zwei Komponenten zu zerlegen. Da nach der Kraft in den Seilstücken gefragt ist, sind die physikalisch sinnvollen Richtungen der Komponenten die Seilrichtungen.

Bei dem Kräftemaßstabergibt sich so.

Vorgehen beim Zerlegen einer Kraft: 1) Bestimme die physikalisch sinnvollen Richtungen der Komponenten. 2) Zeichne vom Angriffspunkt der Kraftaus zwei Strahlen in diese Richtungen. 3) Konstruiere ein Parallelogramm, in demdie Diagonale ist.  4) Die Seiten des Parallelogramms sind die gesuchten Kräfte.

Beispiel: Lastaufhängung Die Kraft, die auf den Aufhängepunkt der Last wirkt, spannt das waagerechte Seil und drückt die Stange schräg gegen die Wand.  Man zerlegtdaher in eine waagerechte Kraftin Richtung des Seils und in eine Kraftin Richtung der Stange.

Die Daten der Anordnung sind:

F = 200 N; a = 48°

Die gesuchten Komponenten ergeben sich zu F₁ = 220 N, F₂ = 300 N.

Die schiefe Ebene

Will man einen schweren Gegenstand in eine höhere Lage bringen, so erfordert dies weniger Kraft im Vergleich zum direkten Hochheben, wenn man ihn auf einer schrägen Unterlage, einer schiefen Ebene, nach oben zieht.

Die Gewichtskraft des Gegenstands wird in zwei Komponenten zerlegt: die Hangabtriebskraftin Richtung längs der schiefen Ebene; die Normalkraftsenkrecht zur schiefen Ebene.

ist die Kraft, mit der der Gegenstand auf die Unterlage gedrückt wird. Sie bestimmt auch die Reibungskraft, die bei Verschieben des Gegnstandes längs der schiefen Ebene wirkt. Es gilt, wie hier ohne Herleitung mitgeteilt sei.

Wenn die Reibung im Vergleich zu anderen Kräften vernachlässigt werden kann, muss beim Verschieben des Gegenstands längs der schiefen Ebene nur die Hangabtriebskraftüberwunden werden. Da F_H < F_G ist, wird also „Kraft gespart“.

Beispiel: Messungen an der schiefen Ebene

Gewichtskraft des verschobenen Gegenstandes: .

Länge der schiefen Ebene: .

Beispiel:

Die Ausfahrt aus einer Kellergarage soll auf einer Länge von s = 10 m einen Höhenunterschied von h = 4 m überwinden. Welche Zugkraft muss der Motor eines Wagens der Masse m = 1,2 t aufbringen, wenn von Reibung abgesehen werden darf?

Übungen: Mehrere Kräfte

1. Zwei Jungen tragen gemeinsam einen Eimer. Der Winkel zwischen ihren Armen beträgt 30°. Jeder Junge übt eine Kraft von 80 N aus.
Wie groß ist die Gewichtskraft des Eimers?
Welche Masse besitzt der Eimer?

2. An einem Telegrafenmast zieht ein Draht horizontal nach Osten mit F₁ = 2 kN, ein zweiter horizontal nach Süden mit F₂ = 3 kN.
Bestimmen Sie Betrag und Richtung der Resultierenden.

3. Eine Hängematte wird durch eine darauf sitzende Person gemäß Skizze belastet.  Die Masse der Person beträgt 75 kg. Welche Kräfte wirken auf die Aufhängung der Hängematte?

4. An einer Schraubenfeder wird mit zwei Kraftmessern gemäß Skizze gezogen. Es ist     D = 0,25 N/cm      F1 = 3 N      F2 = 2 N      a = 60° Um wieviel wird die Schraubenfeder dabei verlängert?

5. Ein Schlitten mit Fahrer besitzt die Gewichtskraft F_G = 8 kN. Er befindet sich auf einem Hang mit Erhebungswinkel α = 30°, der als schiefe Ebene betrachtet werden darf. Bestimmen Sie zeichnerisch die Hangabtriebskraft F_H und die Normalkraft F_N.