2.5 Skalarprodukt von 4-Vektoren

In der Vektorrechnung im Euklidischen Raum sind das Quadrat eines Vektors und das Skalarprodukt zweier Vektoren wichtig. Beide Größen sind unter Drehungen invariant. Entsprechende invariante Größen können auch für die Vierervektoren der Raum-Zeit definiert werden.

Würde man das Quadrat eines Vierervektorseinführen, dann wäre diese Größe nur bei räumlichen Drehungen, nicht aber bei Lorentz-Transformationen invariant. Sie hätte also nicht in jedem Inertialsystem den gleichen Wert.

Das Linienelement gibt den entscheidenden Hinweis:

Dieses Linienelement ist sowohl bei räumlichen Drehungen als auch bei Lorentz-Transformationen invariant. Da die Differenzen der Koordinaten ebenso transformieren wie die Koordinaten selbst, muss auch

sowohl bei Drehungen als auch bei Lorentz-Transformationen invariant sein. Da sich ein beliebiger 4-Vektor a bei diesen Transformationen ebenso verhält wie x, muss schließlich auch

in jedem Inertialsystem den gleichen Wert haben.

Damit ergibt sich die Verallgemeinerung des Skalarprodukts auf 4-Vektoren. Wird es wie folgt definiert:

dann ist es invariant. Zum Beweis betrachte

Die linke Seite ist invariant und auch und sind invariant. Somit muss auchinvariant sein.