5. Quadratische Funktionen

5.1 Einführung

1. Eine Fahrschulregel besagt: Der Bremsweg s_B in Metern ergibt sich, indem die Geschwindigkeit v (gemessen in km/h) durch 10 dividiert und der Quotient anschließend quadriert wird:

.

v / (km/h)	0	10	20	30	40	50	100
sB / m	0	1	4	9	16	25	169

Jeder Geschwindigkeit ist genau ein Bremsweg zugeordnet. Die Zuordnungist also eine Funktion; ihre Definitionsmenge ist das Intervall [0 ; v_max], wobei v_max die Höchstgeschwindigkeit des Fahrzeugs bezeichnet. Werden die Wertepaare (v ; s_B) in ein Koordinatensystem eingetragen, kann der Graph der Bremsweg-Funktion gezeichnet werden.

2. Den Weg s, den ein Stein beim (freien) Fall nach einer bestimmten Zeit t zurückgelegt hat, kann man experimentell bestimmen. Eine Messreihe ergab z.B.:

Wie verhält sich die Fallstrecke s, wenn die Fallzeit verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) wird?

Jeder Zeit ist genau eine Fallstrecke zugeordnet. Die Zuordnungist also eine Funktion.

Wie lautet die Funktionsgleichung für s(t)?

3. In ein Quadrat der Seitenlänge a = 5 cm ist gemäß der Zeichnung ein Rechteck einbeschrieben.
 Für welchen Wert von u wird die Rechteckfläche am größten?

Die Rechteckfläche ergibt sich aus der Quadratfläche, wenn man die vier entstehenden Dreiecke abschneidet. Je zwei der vier Dreiecke ergänzen sich zu einem Quadrat, so dass für die Rechteckfläche folgt:

Jedem u ist genau ein Wert A(u) zugeordnet. Die Zuordnungist also eine Funktion. Ihre Definitionsmenge ist das Intervall [0 ; 5], denn u kann nicht kleiner als Null und nicht größer als 5 werden.

u / cm A / cm² 0 0 0,5 4,5 1 8 1,5 10,5 2 12 2,5 12,5 3 12 3,5 10,5 4 8 4,5 4,5 5 0

 Die Wertetabelle und der Graph von A lassen vermuten, dass die Rechteckfläche für u = 2,5 cm am größten wird.

4. In das Quadrat von Beispiel 3 soll nun ein zweites Quadrat einbeschrieben werden.
 Wie ist u zu wählen, damit die Fläche des einbeschriebenen Quadrates möglichst klein wird?

(Wenn Sie gar keine Idee haben, können Sie mit einem Klick auf die folgenden Schaltflächen immer weiter reichende Tipps erhalten.)

Die in den Beispielen auftretenden Funktionen sind quadratische Funktionen.

Definition: Eine Funktion heißt quadratische Funktion. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.

Weitere Beispiele für quadratische Funktionen:

Die Graphen zeigen:

• Parabeln können nach oben geöffnet oder nach unten geöffnet sein;
• eine Parabel besitzt einen tiefsten oder höchsten Punkt, der Scheitelpunkt genannt wird;
• eine Parabel besitzt eine Symmetrieachse: diese ist eine Parallele zur y-Achse und verläuft durch den Scheitelpunkt der Parabel.

Übung:

Zeichnen Sie die Graphen der folgenden quadratischen Funktionen und bestimmen Sie den Scheitelpunkt.

Zum Zeichnen können Sie das Applet verwenden, das mit einem Klick auf die folgende Schaltfläche gestartet wird. Bei der Eingabe von Werten beachten Sie bitte, dass ein Dezimalpunkt statt eines Kommas einzugeben ist.